Выпуск № 4

Период зарождения математики начался с древнейших времен и закончился в VII - V вв. до н.э. Это был период накопления фактического материала, тесно связанный с развитием ремесла, земледелия, обмена и торговли и т.д. Накопленные эмпирические знания подвергались систематизации, что привело к выделению особого вида понятий и методов решения задач, явившихся зачатками будущей математической науки. Пересчет элементов конечных множеств (убитых на охоте зверей, изготовленных стрел и т.д.), а также упорядочивание этих элементов привели к возникновению понятия натурального числа, как количественного, так и порядкового. Сравнение масс различных предметов, объемов сосудов, расстояний и т.д. привели к понятию величины. Изучение формы изделий, зданий, земельных участков и т.д. привели к понятию геометрической фигуры - части геометрического пространства (само слово "геометрия" в переводе с греческого означает "землемерие").

В процессе счета люди открывали и усваивали не только связи между отдельными числами, как, например, то, что два и три будет пять, но устанавливали постепенно и общие законы. Таким образом, числа выступали не как отдельные и независимые, а в связи друг с другом. Позднее эти числа стали называть натуральными (натуральные числа - это числа, которые мы используем при счете). В общем, возникали не просто отдельные числа, а система чисел с ее связями и законами. Тем самым было положено начало новой науке - арифметике. Были разработаны различные системы счисления, тесно связанные со счетом на пальцах (десятичная, двадцатеричная), а также двенадцатеричная и шестидесятеричная системы счисления.

Старейшие дошедшие до нас математические тексты из Вавилона и Египта восходят к 2000 лет до н.э.

В этот период были введены арифметические действия над натуральными числами, отражавшие операции над конечными множествами. Была установлена связь между натуральными числами и величинами - в некоторых случаях измерение данной величины определенной единицей давало ответ в виде натурального числа. В случаях, когда результат измерения не выражался натуральным числом, либо переходили к более мелкой единице измерения, либо выражали результат измерения дробью. Под дробями понимались числа, составленные из целого числа долей единицы. Появление дробей было первым этапом в развитии понятия числа. С помощью наблюдений и простейших рассуждений люди пришли к формулам для вычисления геометрических величин - длин, площадей и объемов различных фигур. Тем самым был перекинут мост между арифметикой и геометрией. Вообще в этот период геометрия и арифметика не разделялись. В дошедших до нас древнеегипетских папирусах и древневавилонских клинописных табличках уже содержатся методы решения типовых арифметических задач, выделены классы геометрических фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник, прямоугольный параллелепипед, шар и т.д.). В конце этого периода математика уже отвлекается от конкретной качественной природы объектов, которые подлежат счету и измерению.

Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появились у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать

измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида

… - так называемые единичные дроби.

Эти дроби мы находим прежде всего в египетских папирусах (около 2000 лет до н.э.). Египетские математики того времени знали только единичные дроби и дроби

, для которых были специальные названия и символы.

Более сложные дроби представлялись в виде суммы нескольких единичных дробей. Поясним это примером. Пусть требуется разделить пять хлебов между шестью людьми.

Очевидно, каждый должен получить

одного хлеба. Но

. Следовательно каждый должен получить по полхлеба и по

хлеба. Поэтому каждый из трех хлебов нужно разрезать пополам, а каждый из оставшихся двух хлебов делить на три равные части.

Для разложения неединичных дробей на сумму единичных существовали готовые таблицы, которыми и пользовались египетские писцы для необходимых вычислений.

Методы подсчетов при помощи единичных дробей перешли от египтян в Грецию, от греков к арабам, а от них уже в Западную Европу.

Постепенно наряду с единичными дробями появились и дроби с произвольными числителями. Так, уже Архимед (287-211 гг. до н.э.) при определении длины окружности оперирует с дробями 3

и 3

Жители древнего Вавилона примерно за три тысячи лет до нашей эры пользовались шестидесятеричной системой для целых чисел и дробей, в связи с чем счет дробями для вавилонян был не сложнее счета целыми числами.

Отголоском шестидесятеричной системы является деление часа на 60 минут, а минуты на 60 секунд.

В древнем Риме в качестве основной дроби пользовались дробью

, которая называлась унцией. Дроби

;

и т.д. назывались соответственно пятью унциями, семью унциями и т.д.

В древности наибольшего развития обыкновенные дроби достигли в Индии. В рукописях, относящихся к четвертому веку до нашей эры, встречаются уже не только единичные дроби, но и дроби

;

, и другие. В начале VII столетия индийцы знали и формулировали правила действия над обыкновенными дробями. В западной Европе окончательно установленную и ясную теорию обыкновенных дробей дал в 1585 году фламандский инженер Симон Стевин.

Первым руководителем созданной Улугбеком обсерватории был высокообразованный математик и астроном аль-Каши (умер около 1430 года).

Своими трудами аль-Каши внес большой вклад в математику.

Этот ученый был хорошо знаком с вавилонской шестидесятеричной системой счисления, распространенной и на шестидесятеричные дроби, то есть на дроби со знаменателем 60, 60 · 60, 60 · 60 · 60 и т.д.

Знакомство с этими дробями и с десятеричной позиционной системой Индии навело ученого на мысль применить десятеричную позиционную систему к дробям. Он первым начал разрабатывать этот раздел в науке. Аль-Каши стал записывать дроби в одну строку с числами в десятеричной системе. Чтобы отделить целое число от десятеричного, он пользовался вертикальной чертой или чернилами разного цвета; например, целое число записывал черными чернилами, а дробные знаки - красными.

В Европе о трудах аль-Каши долгое время не знали. Потребляемость же в более простых вычислениях с дробями с развитием науки и культуры росла, математики настойчиво искали пути решения этой проблемы.

В 1585 году, независимо от аль-Каши, нидерландский ученый Симен Стевин (1548-1620) сделал важное открытие, о чем написал в своей книге "Десятая". Эта маленькая работа (всего 7 страниц) содержала объяснение записи и правил действия с десятичными дробями. Стевин ещё не пользовался запятой, но писал дробные знаки в одну строку с цифрами целого числа. При этом он нумеровал десятичные знаки, вписывая порядковые номера в окружности рядом с цифрой или над цифрой. Например, число 12,761 он записывал так:

0	1	2	3
12	7	6	1

В первом примере вместо запятой стоит нуль в кружке, десятые доли обозначены знаком (1), сотые - (2) и т.д. Во втором примере цифры в верхней строке указывают, сколько нулей содержит предшествующий десятичный знак (семь десятых, две сотых и шесть тысячных).

Десятичные дроби постепенно распространились в Европе, но лишь в XIX веке. Они стали пользоваться широкой известностью в связи с введением десятичной системы мер.

Применение запятой при записи дробей впервые встречается в 1592 году. Несколько позже - в 1617 году отделять десятичные знаки от целого числа предложил Джон Непер (1550-1617) - знаменитый шотландский математик, изобретатель логарифмов. В России впервые о десятичных дробях было сказано в "Арифметике" Магницкого.

Десятичная система позволяет легко записывать не только очень большие числа, но и очень маленькие. Десятичные дроби показывают десятые, сотые, тысячные доли единицы. В числе они записываются после запятой. Мы легко можем представить величину любой дроби, потому что она всегда сравнивает саму себя с 1.

Вы, конечно, знаете, что сотую долю числа называют процентом числа и обозначают знаком %.

Это понятие появилось в математике в связи с развитием торговли, когда за взятые в долг деньги заимодавец получал с должника какую-либо сумму сверх долга. Обычно эта сумма выражалась в сотых долях. Несколько позже у неё появилось название - проценты.

Слово "процент" произошло от двух латинских слов: "про" - "на" и "центум" - "сто", то есть в буквальном переводе на русский язык процент означает "на сто". Знак % закрепился для обозначения процентов в XVII веке. Вероятно, он произошел от сокращения латинского слова "centum" в "cto". При скорописи "cto" стало выглядеть как "о/о", а затем - "%". Довольно долго этот знак записывался только с горизонтальной чертой, а затем от этого условия отошли.

До нас дошли таблицы процентов, составленные ещё вавилонянами. Эти таблицы позволяли быстро определить сумму процентных денег.

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычислили проценты, применяя так называемое тройное правило, то есть пользуясь пропорцией.

Они производили и более сложные вычисления.

В Древнем Риме были широко распространены денежные расчеты с процентами. Римский сенат установил максимально доступный процент, взимавшийся с должника.

В Европе в середине века расширилась торговля и, следовательно, особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. Тогда приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов (сложные проценты). Часто конторы и предприятия для облегчения расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов. Эти таблицы держались в тайне, составляли коммерческий секрет фирмы.

Впервые таблицы были опубликованы в 1584 году Симоном Стевином - инженером из города Брюгге (Нидерланды). Он известен различными научными открытиями, а также применением особой записи десятичных дробей, как вы уже знаете.