Математическая гармония Пифагора

Большую роль в развитии задач на построение сыграл Пифагор (около 580 - 500 годов до н.э.). По свидетельству греческого историка математики Прокла (412 - 485 годы), "Пифагор впервые разработал принцип геометрии и теоремы невещественным ра­зумным путем". Пифагор и его ученики потратили много сил, чтобы отдельным геометрическим сведе­ниям, состоящим до того времени из набора интуи­тивных правил, придать характер настоящей науки, основанной на ло­гических умозрительных доказательствах. С именем Пифагора связана теорема, согласно которой в прямоугольном треугольнике квадрат ги­потенузы равен сумме квадратов его катетов. По-видимому, эту теоре­му сам Пифагор (или его ученики) доказывал при помощи геометри­ческих построений, опираясь на понятие равновеликости равносостав­ленных фигур.

Пифагору приписывается еще ряд замечательных открытий, наибо­лее важные из которых следующие:

1. Теорема о сумме внутренних углов треугольника.

2. Задача о покрытии. Пифагор путем построения и некоторыми рассуждениями показал, что плоскость может быть заполнена (покрыта) без наложений или правильными треугольниками, или квадратами, или правильными шестиугольниками.

3. Геометрические способы решения квадратного уравнения.

4. Правило решить задачу: "По данным двум фигурам построить третью, которая была бы равновелика одной из данных и подобна другой".

Прокл и древнегреческий историк Плутарх (около 46 - 126 годов), автор "Сравнительных жизнеописаний", утверждают, что Пифагор решил следующие задачи на построение:

1. Построить среднюю пропорциональную между двумя данными отрезками.

2. На данном отрезке построить параллелограмм, равный данному и имеющий угол, равный заданному углу.

3. Построить правильный пятиугольник. Пифагор и его ученики, кроме правильного пятиугольника, умели строить правильные многоугольники, у которых число сторон равняется 3, 4, 6, 8, 10, 16. Но они были совершенно бессильны в построении правильных семиугольни­ков, девятиугольников и одиннадцатиугольников.

А знаете ли вы, что музыкальная гамма ро­дилась именно с помощью математики, и изоб­разил ее сам Пифагор?

В музыке существует такое понятие как среднее гармоническое. Выясним, что такое среднее гармоническое. Но для этого вспом­ним сначала, что такое среднее арифметичес­кое и среднее геометрическое.

Среднее арифметическое двух чисел — это половина их суммы.

А среднее геометрическое двух чисел есть корень квадратный из их произведения.

Но вернемся к Пифагору и к связи между музыкой и математикой.

Пифагор занимался гармонией. А гармония для Пифагора была по­нятием широким. Он искал ее и в геометрии, и в арифметике, и в дви­жении небесных тел, и в музыке. И находил во всех этих областях науки общие законы гармонии. Пифагор создал целое учение о гармонии и главную роль в этом учении отводил числам. Особое значение прида­вал он первым четырем числам натурального ряда — 1, 2, 3 и 4. По его мнению, эти числа лежат в основе всякой гармонии...

Пифагор считал эти числа фундаментом мировой гармонии. Он при­стально изучал их отношения, или, лучше сказать, соотношения, и очень неожиданно применил их в музыке.

Возьмем скрипку и познакомимся с изобретением Пифагора на лич­ном опыте. Вот струна. Ущипни-ка ее. А теперь прижми струну к грифу точно посередине и ущипни ее еще разок... Слышишь? Этот звук полу­чился гораздо тоньше первого, или, как говорят музыканты, выше. Разность этих высот, или, как говорят, интервал между ними, принято на­зывать октавой. И получилась ок­тава оттого, что струну разделили в отношении 2:1.

Теперь разде­лим струну на три части и при­жмем на расстоянии двух третей. Ну-ка, что у нас получилось?

Получился звук хоть и повыше, чем тогда, когда дергали целую струну, зато чуть пониже, чем ког­да разделили струну на две части.

Звук при этом получается выше не на октаву, а на так называемую квинту. И происходит это тогда, когда струну делят в отношении 3 : 2. А теперь разделим струну в отношении 4:3. Попросту прижмем ее на расстоянии трех четвертей. Что получилось? Получился звук еще чуть ниже, чем тогда, когда мы ущипнули две трети струны. Этот интервал между высотой звучания всей струны и высотой звучания трех ее чет­вертей называется квартой.

Вычислим, во сколько раз октава больше кварты.

Для этого надо найти, во сколько раз отношение 2 : 1 больше отно­шения 4 : 3.

Надо разделить  на :

 - это квинта, которая получается, когда струну делят в отношении 3 : 2.

Но что из этого следует?

Из этого следует, что октава состоит из квинты и кварты.

Сами названия "квинта" и "кварта" появились гораздо позднее (это уже другая история).

А теперь выясним, во сколько раз квинта больше кварты.

Интервал, равный девяти восьмым, условились считать за один му­зыкальный тон.

Разберемся же, наконец, что такое среднее гармоническое. Дело в том, что, кроме чисел 1, 2, 3 и 4, Пифагору приглянулась еще одна четверка чисел: 6, 8, 9 и 12. Они полюбились ему уже хотя бы потому, что отношение 12:6 равно отношению 2 : 1 и дает октаву, от­ношение 12 : 8 равно отношению 3 : 2 и дает квинту, а отношение 12 : 9 равно отношению 4 : 3 и дает кварту. Пифагор обратил внимание также на средние числа этой великолепной четверки — 8 и 9. Здесь интересно вспомнить, что отношение 9 : 8 соответствует одному тону.

Что же замечательного нашел Пифагор в этих числах? Во-первых, девять — это среднее арифметическое шести и двенад­цати, то есть крайних чисел этой четверки:

А восемь — это их среднее гармоническое.

Мириады Архимеда

Прошло уже больше двадцати двух столетий, как на острове Сицилия, находящемся в Средиземном море, в городе Сиракузы в семье гречес­кого астронома и математика родился мальчик. Впоследствии он станет из­вестен всему миру под именем Архи­меда — величайшего математика. Отец мальчика Фидий много вни­мания уделял воспитанию и обучению сына. Архимед, как губка, впитывал в себя все, чему учил его отец, и вскоре ученик перерос своего учителя.

Архимед отправляется в Александрию — мировой центр науки и культуры. Там, в Алек­сандрийской академии, он внимательно и прилежно изучил многие рукописи из се­мисот тысяч, хранившихся в Алексан­дрийской библиотеке.

Возвратившись на родину, он сделал ряд замечательных открытий и изобретений. Он изготовил прибор и с его помощью измерил поперечник (диаметр) Солнца. Он сделал небесный глобус, который вращался при помощи струи падающей воды. На этом глобусе можно было наблюдать движение планет, солнечные и лунные затмения, смену фаз Луны.

Архимед изобрел машину "улитка", которая орошала поля, винт, благодаря вращению которого можно было перекачивать по трубе жид­кость (такой винт используется сейчас в мясорубках и в ряде других машин). Ученый разработал систему блоков, которая позволяла пере­двигать громадные тяжести. И это далеко не полный перечень всех изоб­ретений Архимеда.

Архимеду приписывают крылатую фразу: "Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю".

Об этом ученом уже при жизни ходили легенды. В одной из них говорится, что Архимед, с помощью созданных им механизмов, легким движением руки спустил с берега в воду тяжелый корабль, который не могли сдвинуть с места несколько десятков рабочих. В другой легенде сказано, что с помощью нескольких зеркал Архимед направил солнеч­ные лучи на вражеский корабль, и он загорелся. Огонь, перекинувшись на другие суда, сжег весь римский флот. В то время римляне вели войну с городом-государством Сиракузы и в течение трех лет не могли взять главный город. Возглавляя оборону города, Архимед приказал изгото­вить разнообразные метательные орудия, ранее невиданные. Мощные метательные машины забросали осаждавших камнями. Не спаслись враги и у стен города — легкие метательные машины поразили их гра­дом ядер. Благодаря мощным подъемным механизмам, корабли римлян захватывались крюками, переворачивались и тонули. Лишь после дли­тельной осады Сиракузы вследствие измены были взяты. Это случи­лось в 21 году до н.э.

Архимед был убит римским воином в то время, когда чертил на пес­ке геометрические фигуры.

Пытаясь решить сложную задачу — пересчитать песчинки во все­ленной, — Архимед придумал особую систему счисления. Раньше пользовались алфавитной нумерацией. Цифры обозначали буквами ал­фавита, а над ними ставили черточки (титлы), чтобы не путать цифры с буквами.

Архимед все числа от единицы до мириады (число 10 000) назвал числами первыми. Это первый класс в его системе. Мириаду мириад (10 000 • 10 000 = 10⁸) он назвал единицей чисел вторых — второй класс в его системе. Мириаду мириад вторых чисел 10¹⁶ (10 000 • 10 000 • 10 000 • 10 000) он назвал единицей чисел третьих. Это число содержит единицу с 16 нулями, то есть 10 квадриллионов.

Продолжая таким образом подсчет, Архимед показал, что можно выразить какие угодно большие числа. Он определил, что во все миро­вое пространство, то есть сферу с диаметром, равным 1000 расстояний от Земли до Солнца, можно вместить мельчайших песчинок не больше числа, равного единице с 63 нулями (10⁶³). Этот подсчет он описал в своей работе "Псаммит" ("Исчисление песчинок").

Архимед решил немало сложнейших задач своего времени в меха­нике, математике, астрономии. Великий греческий ученый стал перво­основателем начал математической физики и математического анализа.

Милостивый закон

В некотором государстве был такой обычай. Каждый преступник, осужденный на смерть, тянул перед смертью жребий, который давал ему надежду на спасение. В ящик опускали две бумажки: одну с надписью "Жизнь", другую с надписью "Смерть". Если осужденный вынимал первую бумажку, он получал помилование; если же он имел несчастье вынуть бумажку с надписью "Смерть", приговор приводился в исполнение.

У одного человека, жившего в этой стране, были враги, которые его оклеветали и добились того, что суд приговорил несчастного к смертной казни. Мало того, враги не желали оставить невинному осужденному малейшей возможности спастись. Ночью накануне казни они вытащили из ящика бумажку с надписью "Жизнь" и заменили ее бумажкой с надписью "Смерть". Теперь, какую бы бумажку ни вытянул осужденный, он не мог избегнуть смерти. Так думали его враги. Но у него были друзья, которым стали известны козни врагов. Они проникли в тюрьму, предупредили осужденного, что в ящике оба жребия имеют надпись "Смерть". Друзья убеждали несчастного открыть перед судьями преступный подлог его врагов и настаивать на осмотре ящика со жребиями. Но, к изумлению, осужденный просил друзей хранить проделку врагов в строжайшей тайне и уверял, что тогда он будет спасен. Друзья приняли его за сумасшедшего.

Наутро осужденный, ничего не сказав судьям о заговоре своих врагов, тянул жребий — и был отпущен на свободу! Как же ему удалось так счастливо выйти из своего, казалось бы, безнадежного положения?

Жестокий закон

Некогда жил жестокий правитель, который не желал никого впускать в свои владения. У моста через пограничную реку был поставлен часовой, вооруженный с головы до ног; и ему приказано было допрашивать каждого путника: "Зачем идешь?" Если путник в ответ говорил неправду, часовой обязан был схватить его и тут же повесить. Если ж путник отвечал правду, ему и тогда не было спасения: часовой должен! был немедленно утопить его в реке. Таков был суровый закон жестокосердного правителя, и не удивительно, что никто не решался приблизиться к его владениям. Но вот нашелся крестьянин, который, несмотря на это, спокойно подошел к охраняемому мосту у запретной границы "Зачем идешь?" — сурово остановил его часовой, готовясь казнить смельчака, безрассудно идущего на верную гибель. Но ответ был таков что озадаченный часовой строго исполняя жестокий закон своего господина, не мог ничего поделать с хитрым крестьянином.

Сколько волос?

Из парикмахерской я вышел остриженным наголо. Лето — жарко. Иду и радуюсь. На­встречу — приятель, очень такой любозна­тельный и хитроумный парень. Поздоровался и спрашивает: "Что же это ты столько во­лос оставил на голове?" Я удивился, а он про­должает: "Сколько, по-твоему, метров волос осталось у тебя на голове?" "Метр, два, может быть, и будет, если собрать все остатки", — ответил я ему, не ожидая подвоха. Приятель рассмеялся. "Ошибся. И во много раз. Подумай, как следует, прежде чем ответить на этот простой с первого взгляда вопрос".

Задача о трех мудрецах

Три неких древних мудреца вступили в спор: кто из троих более мудр? Спор помог решить случайный прохожий, предложивший им испытание на сообразительность.

— Вы видите у меня, — сказал он, — пять колпаков: три черных и два белых. Закройте глаза.

С этими словами он надел каждому по черному колпаку, а два белых спрятал в мешки.

— Можете открыть глаза, — сказал прохожий. — Кто угадает какого цвета колпак украшает его голову, тот вправе считать себя самым мудрым.

Долго сидели мудрецы, глядя друг на друга... Наконец, один воскликнул.

— На мне черный! Как он догадался?

Продолжите последовательность чисел:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21;...

Вместо звездочек поставьте в примерах такие знаки действий, чтобы равенства были верными:

1) 37,3*=74                       2)                    3)

Пользуясь признаками делимости, определите, делится ли

чис­ло 37927175 на 6, 11,15,25.